#数楽https://twitter.com/kawa_machi/status/813566552335216640 …位相の入れ方を適切に設定すれば…999=lim_{n→∞}(10^n-1)=-1は数学的に厳密に成立しています。左の等号は左辺の右辺による定義で、右の等号は適切な設定の下での(ほぼ自明な)定理。

#数楽 @y_aki 【有限桁の2進数における負の数の実装に通じる話とかなのかなー】そうです！n桁のm進数における負の数の実装のn→∞での極限を数学的に正当化できるという話になります。「p進数」や「p進体」についてググれば新しい世界が開けているかも。p=2は特別な場合。

#数楽 気楽な話「x=0.999…とおくと、10x=9.999…なので、9x=10x-x=9となり、x=1となることがわかる」という議論を見たことのある人は多いと思います。それでは「x=…999のとき同様にしてx=-1となることがわかる」だとどうでしょうか？続き

#数楽 続き「x=…999…とおくと、10x=…990なので、9x=10x-x=-9となり、x=-1となることがわかる」も、もしも…999=lim_{n→∞}(10^n-1)が適切な意味で収束していれば正しい議論になる。収束しないのでナンセンスだと決め付けるべきではない。

#数楽 続きlim_{n→∞}(10^n-1)が-1に収束することはlim_{n→∞}10^nが0に収束することと同じことです。だから、1,10,100,1000,…がどんどん小さくなると考えることができれば先の議論は正当化されます。続く

#数楽 続きそこで整数xを割り切る10のべきが10^kのとき、xの「絶対値」を|x|=1/10^kと定義し直すことにしましょう。0は10で無限回割り切れるのでk=∞と考え、|0|=0と約束しておきます。この「絶対値」は10でたくさん割り切れるほど小さくなります。続く

#数楽 整数a,bはどちらも10^kで割り切れるならば、a+bも10^kで割り切れます。そのことから、「絶対値」は|a+b|≦max{|a|,|b|}≦|a|+|b|を満たしていることを示せます。(問題：そのことを証明せよ。) 続く

#数楽 続き特に「絶対値」は三角不等式を満たしているので、aとbの距離を|a-b|と定めると、所謂距離空間の意味での距離の公理をみたすことを示せます。(問題：そのことを示せ) 距離があればいつもの方法で収束も定義されます。続く

#数楽 続き「絶対値」に基いた距離について整数の足算引算掛算が連続であることも簡単に示せます。(問題：そのことを示せ。なれるとノータイムで証明が完了しますが、なれない人は一週間くらいかかるかも。)続く

#数楽 続き10^nは10でちょうどn回割り切れるのでその「絶対値」は1/10^nになり、以上の設定のもとで、10^nは0に収束します。だからlim_{n→∞}(10^n-1)=-1が自明に成立しています。すなわち…999=-1です。

#数楽 以上の議論のポイントは通常の絶対値を10でたくさん割り切れれば割り切れるほど小さくなる「絶対値」(10進付値)で置き換えたことです。絶対値という道具の選択権は我々にあり、目的に応じて必要な絶対値を使えばよいのです。誰か偉い人が決めた絶対値を採用する必要はない。これが数学。

#数楽 ただし、途中で出した証明問題を自力で解けないと色々失敗する危険が増えます。数学において自由を得ることは論理的能力を身に付けることとほぼ同じです。論理的能力を身に付ければ付けるほど自分自身の直観を怖がらずに自由に使えるようになります。

#数楽 すでに指摘があったように、2進数で考えた方が馴染みがあると感じる人達は多いかもしれません。「2進数で111…1は-1を表す」という例の話です。その桁数無限大の極限として無限桁の2進数…111=-1を数学的に正当化できます。そういう数学は数論で普通に使われています。

#数楽https://twitter.com/genkuroki/status/813676685610467328 …のような数楽ネタのまとめ読みはhttp://twilog.org/genkuroki/search?word=#数楽&ao=a …でできます。

#数楽 8bitの2進数11111111が-1を表すという話は数学の教科書的には剰余環 Z/256Z を考えている状況が対応しています。一般にM/Nは「Mの中でNの元をすべて0とみなしてできるなにものか」を意味しています。続く

#数楽 続き。Z/256Z は整数全体のなす環Zの中で256の倍数をすべて0とみなしてできる環を意味しています。Z/256Zの中で256=0なので255=-1などが成立しています。2進表示では11111111=-1 in Z/256Z です。続く

#数楽 続き。Z/256Zの256を2^nに一般化したZ/2^nZ=(整数全体の環Zの中で2^nの倍数をすべて0とみなしてできる環)を考え、n→∞の「極限」(権論的には射影極限と呼ばれている)を考えると無限桁の2進数の環が得られるわけです。続く

#数楽 続き。無限桁の2進数の環を Z_2=proj lim Z/2^nZ と書くことにしましょう。Z_2の中にはあらゆる整数が含まれています。たとえば-1=(無限桁の2進数…111)です。1を右から左に無限個並べれば-1が得られる。続く

#数楽 続き。実際、x=(無限桁の2進数…1111)とおくと、2x=(無限桁の2進数…1110)なので、-x=x-2x=1すなわちx=-1となります。正の整数は有限桁の2進数で表示できるので、その-1=(2進数の…111)倍で負の整数の無限桁2進数表示が得られます。続く

#数楽 無限桁を許す2進数ですべての整数を表せることはわかりました。その他にどういう数を無限桁の2進数で表せるでしょうか？分母が奇数であるようなすべての有理数も無限桁を許す2進数で表すことができます。たとえば(2進数…010101)=1+4+4^2+…=1/(1-4)=-1/3.

#数楽 続き。分母を3にできる。同様に(2進数…001001001)=1+8+8^2+…=1/(1-8)=-1/7で分母を7にできる。さらに同様に続けることによって分母を2^n-1にできます。任意の奇数は2^n-1型のある整数の約数になるので分母を任意の奇数にできます。続く

#数楽 無限桁を許す2進数の環 Z_2 はすべての整数を含むだけではなく、分母が奇数のすべての有理数も含むことがわかりました。Z_2 にはそれら以外にもたくさんの元が含まれています。

#数楽 ←このタグの話題は http://twilog.org/genkuroki/search?word=#数楽&ao=a … でまとめ読みできます。現在、genkurokiの返答連鎖が繋がって表示されない状態なのでリンク先を利用するとよいと思います。

#数楽 無限桁も許す2進数の環 Z_2 は2進整数環と呼ばれています。https://www.google.co.jp/search?q=2�%80�整数環 …

#数楽 無限桁も許す2進数全体の環 Z_2 のようなものは、ある程度数学をやっていれば「何か特別なもの」という感じはなくなり「非常に普通に感じられるもの」になってしまいます。

#数楽 体K上の多項式環K[x]は1,x,x^2,…の有限一次結合全体のなす環なのですが、無限和を自由に許せばxの形式べき級数環 K[[x]] ができます。K[[x]] の中には 1+x+x^2+…=1/(1-x) などが含まれています。これがZ_2の類似物なのは明らか。

#数楽 多項式f(x)のxには任意の「数」を代入できるので多項式環K[x]は大域的な函数の環とみなされます。それに対して形式べき級数環K[[x]]のxには一般に0または「無限小」しか代入できません。K[[x]]は点x=0の無限小近傍上の函数の環とみなされます。続く

#数楽 点x=0で正則な有理函数はx=0でTaylor展開することによって形式べき級数(K[[x]]の元)ともみなせます。この事実は「Z_2 が分母が奇数の有理数をすべて含む」という結果の類似になっています。函数の方ではTaylor展開したりするのは普通。

#数楽 続き。「数の方でも形式べき級数のようなものを考えることができる」という話の一例が「無限桁の2進数を考えることができる」という話になっているのです。このように数学では無限桁2進数のような話とTaylor展開できる函数のような話を「同じようなことをやっている」と考えます。

#数楽(無限桁の2進数 …a_3 a_2 a_1 a_0)= a_0+a_1 2+a_2 2^2+a_3 2^3+…ここでa_iは0または1.形式べき級数f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+…ここでa_iは係数体の元.これらは似ている。

#数楽 2進数の世界では2^nの「大きさ」(「絶対値」、2進付値)は 1/2^nだと考えます。奇数の「大きさ」は1だと考える。2^nの「大きさ」はn→∞でどんどん小さくなり、0に近付きます。Taylor展開的考え方は解析学の考え方なのですがそれが数の世界にも適用される。

#数楽 有限桁の2進数はコンピューターの世界では最もなじみのある対象です。離散的でデジタルな対象。しかし、数学を知っていれば必ずしもそのイメージでとらえる必要がないことが明瞭になるのです。連続な世界の解析学的考え方も使えるかもしれない。

#数楽 数学科の学生にはよくこう言っています。講義をする人が何の感動もなく普通のことであるかのようにさらりと説明することの中に驚くべきアイデアが大量に含まれているのだ、と。すんごいアイデアが単なる「例」の一つとして説明されてしまうかもしれない。

#数楽 訂正リンク先の「権論」を「圏論」に訂正します。https://twitter.com/genkuroki/status/813744536220418048 …

#数楽 「aの7乗しなければ0にならないが、bの6乗は0なので、aよりもbの方が『微小』である」とか。たとえば、Z/128Zにおいて(0⇔128で割り切れる)、14は7乗しなければ0にならないが、12の4乗は0になる。Z/128Zにおいて14よりも12の方が「微小」。

#数楽 続き。この話における128=2^7の7を無限に大きくする極限を考えれば、2の大きなべきで割り切れるほど「微小」となる「2進整数環」の世界が得られわけです。2を別の数に変えてもよい。個人的には無限小の直観があった方がp進数入門が楽になると思う。